\section{Discrétisation des équations primitives}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=8cm]{\local/grille-2}
\caption{Disposion des variables dans la grille du LMD
\label{fg:grille-2}}
\end{figure}

\subsection{Flux de masse}

\paragraph{On peut alors introduire les trois composantes du flux de masse:}
\begin{equation}
U=\av{\m}{X} \ucont ,\  V= \av{\m}{Y} \vcont \  \mbox{et} \
W
\end{equation}
où le flux de masse vertical $W$ est défini à partir de
\paragraph{l'équation de continuité}
\footnote{La notation $\delta_X$ signifie simplement qu'on
effectue la différence entre deux points consécutifs
suivant la direction $X$.
La notation $\av{a}{X}$ signifie qu'on prend la moyenne arithmétique
de la quantité $a$ suivant la direction $X$.}
\begin{equation} \label{eq:cont}
\dt{\m} + \dx U+ \dy V +\dz W=0
\end{equation}
Comme dans l'ancienne version, pour résoudre cette équation, on commence
par calculer la convergence de masse cumulée depuis le sommet de l'atmosphère
jusqu'au niveau considéré~:
\begin{equation}
\Omega_k= \sum_{l=k}^N \dep{\dx U+ \dy V}
\end{equation}
(qu'on peut écrire de façon plus synthétique $\dz \omega=-\dx U -\dy V$).
La convergence au sol $\Omega_1$ donne accès à l'évolution de la pression
de surface
\begin{equation}
\frac{a}{g}\dt{\ps}=\Omega_1
\end{equation}
et finalement, en remarquant que
\begin{equation}
\dt{m}=-\frac{a}{g}\dz B \dt{\ps}=-\dz B \Omega_1
\end{equation}
on obtient en intégrant l'équation de continuité
\begin{equation}
- \dz B \Omega_1 -\dz \Omega +\dz W=0
\end{equation}
depuis le sommet de
l'atmosphère jusqu'au niveau $k$~:
\begin{equation}
1
\end{equation}
ce qui donne l'évolution temporelle de la pression de surface à
partir de la covergence du vent horizontale dans la colonne d'air.
On introduit la dérivée temporelle de la pression de surface ainsi
calculée dans l'équation~\ref{eq:cont}
\begin{equation} \label{eq:contc}
\dt{\ps} \dz B + \dx U+ \dy V +\dz W=0
\end{equation}
qui s'intègre alors verticalement
l'équation~\ref{eq:cont}
à partir du haut du modèle pour obtenir
le flux de masse vertical à tous les niveaux.


\subsection{Les autres équations}

En introduisant :
\begin{description}

\item[le facteur de Coriolis multiplié par l'aire de la maille:]
$\fext=2\Omega \sin{\phi} \cu \cv$\\
où $\Omega$ est la vitesse de rotation de la planète.
%
\item[la vorticité potentielle absolue:]
\begin{equation}
Z=\Z
\end{equation}
%
\item[l'énergie cinétique]
\begin{equation}
K=\K
\end{equation}
\end{description}
%
\paragraph{les équations du mouvement} prennent la forme suivante:
\begin{equation} \label{eq:u1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y}
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+ \av{\h}{X} \dx \pk
+\frac{\av{\av{W}{X} \dz \ucov}{Z}}{\av{\m}{X}}
=S_{\ucov}
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} + \av{Z}{X} \av{U}{X,Y} + \dy \left( \Phi + K \right)
+ \av{\h}{Y} \dy \pk
+\frac{\av{\av{W}{Y} \dz \vcov}{Z}}{\av{\m}{Y}}
=S_{\vcov}
\end{equation}
où $\pk=\cp p^\kappa$ est la fonction d'Exner au milieu de la maille.
%
\paragraph{L'équation thermodynamique} s'écrit simplement (comme
l'équation de continuité) :
\begin{equation} \label{eq:thermo}
\dt{\dep{\m \h}}
+\dx \dep{\av{\h}{X}U} +\dy \dep{\av{\h}{Y}V}
+\dz \dep{\av{\h}{Z} W}=S_\h
\end{equation}
%
Enfin, \paragraph{l'équation hydrostatique:}
\begin{equation}
\label{eq:hydrostat}
\dz \Phi=-  \av{\h}{z} \dz \pk
\end{equation}
avec $\av{\h}{z}_1=\h_1$ et ${\dz \pk}_1=\ps^\kappa-\pk_1$.

