\section{La coordonnée verticale\label{sc:vert}}

\subsection{Coordonnées hybrides}

La coordonnée verticale  est définie de façon implicite en donnant la pression dans la couche $l$ du
modèle sous la forme

\begin{equation}
\label{eq:pl}
p_l=A_l + B_l\ps
\end{equation}

On ne définit donc pas de coordonnée verticale proprement dite;
autrement dit, la coordonnée verticale est directement l'indice de la
couche variant de 1 près de la surface à N en haut du modèle.

Si on prend près de la surface $A\sim 0$ et $B\sim 1$ et vers le haut
du modèle $A\sim 0$ et $B\sim 0$ avec $A>>B \ps$,
on voit qu'on remplit bien les conditions requises
plus haut. ????? peut-être faut-il quand même reprendre le chapeau de
ce § que tu as enlevé.

\begin{figure}
\includegraphics[width=16cm]{\local/grille-1}
\caption{Dispositon des variables dans la grille du LMD
\label{fg:grille-1}}
\end{figure}

\subsection{Masse des mailles}

Les niveaux de pression du modèle définis par la relation~\ref{eq:pl}
sont définis aux interfaces entre les couches du modèle avec $p_1=\ps$
et $p_{N+1}=0$ où $N$ est le nombre de couches dans le modèle
(exactement comme la disposition des niveaux $\sigma$ dans l'ancienne
version).
La masse d'air contenue dans une maille du modèle comprise entre les
niveaux $p_k$ et $p_{k+1}$ n'est autre que
\begin{equation}
m_k=a\frac{p_k-p_{k+1}}{g}
\end{equation}
($a=\cu\cv$ est l'aire de la maille) ou encore
\begin{equation}
\m_k= \frac{a}{g} \depb{A_k-A_{k+1} +\dep{B_k-B_{k+1}} \ps}
\end{equation}
($\m$ remplace la pression extensive dans l'ancienne formulation).

\subsection{La fonction d'Exner}

On présente ici le calcul de la fonction d'Exner $\pk=\cp
p^\kappa$. Au lieu de calculer $\pk$ au milieu des couches à partir
par exemple d'une pression extrapolée au milieu des couches à partir
des niveaux de pression aux interfaces $p_\kappa$ (ce qui est entre
autres très coûteux numériquement), on propose d'utiliser une relation
supplémentaire entre des niveaux $p_k$ et la fonction d'Exner qui
découle directement de considérations sur les différentes formes
d'énergie dans une colonne d'atmosphère (les mêmes considérations qui
étaient à l'origine du choix de la distribution relative des niveaux
$\sigma$ et des niveaux $s$ dans l'ancienne formulation).

En effet, une prorpiété importante de l'approximation hydrostatique est la
proportionalité des contenus en énergie totale, interne et
potentielle, à savoir qu'on a par exemple
\begin{equation}
\int_0^\infty \Phi \rho dz =\int_0^\infty RT \rho dz
\end{equation}
Cette relation n'est plus évidente dans la formulation numérique.
Cependant, sous réserve de choisir une définition
adéquate pour $\pk$, on peut garantir l'identité suivante :
\begin{equation} \label{eq:ener1}
\sum_{l=1}^N\Phi_l\m_l -\Phi_s = \sum_{l=1}^N RT_l\m_l =
\sum_{l=1}^N \kappa \h_l \pk_l \m_l
\end{equation}

A partir de l'équation hydrostatique \ref{eq:hydrostat}, on peut
écrire
\begin{equation}
\Phi_l=\Phi_s+\sum_{k=1}^l \depb{\av{\h}{z} \dz \pk}_k
\end{equation}
avec la convention (utilisée dans le modèle) :
\begin{equation}
\depb{\av{\h}{z}}_1=\h_1
\end{equation}
L'énergie potentielle de gravité totale de la colonne s'écrit
donc
\begin{eqnarray}
\sum_{l=1}^N\Phi_l\m -\Phi_s
&=&\sum_{l=1}^N\m_l \sum_{1\le k \le l} \depb{\av{\h}{z} \dz \pk}_k \\
&=&\sum_{k=1}^N\sum_{k\le l \le N} \depb{\av{\h}{z} \dz \pk}_k m_l \\
&=&\sum_{k=1}^N\depb{\av{\h}{z}\dz \pk}_k \times \frac{a}{g} p_k\\
&=&\frac{a}{g}\sum_{k=1}^N\h_k\depb{\av{p \dz \pk}{z}}_k
\end{eqnarray}
avec les conventions
\begin{equation}
\depb{\av{p\dz \pk}{z}}_1=\frac{p_2 \dep{\dz \pk}_2}{2}+\ps \dep{\dz \pk}_1
\end{equation}
et
\begin{equation}
\depb{\av{p\dz \pk}{z}}_N=\frac{p_{N-1} \dep{\dz \pk}_{N-1}}{2}
\end{equation}
On voit alors que l'équation~\ref{eq:ener1} peut être satisfaite
simplement si on choisit les niveaux $\pk$ suivant la relation
 $\av{p\dz \pk}{z}=\kappa \pk \dz p$
ou encore
\begin{equation}
\frac{a}{g} \av{p\dz \pk}{z}=\kappa \pk \m
\end{equation}

\paragraph{Remarque:} Dans l'ancienne formulation, où les niveaux de
pression étaient définis par $p=\sigma \ps$ et ou on introduisait
$s=\sigma^\kappa$ au milieu des couches, la relation précédente
s'écrivait simplement
\begin{equation}
\depb{\av{\sigma\dz s}{z}}_N=\frac{\sigma_{N-1} \dz s_{N-1}}{2}
\end{equation}
et était utilisée justement pour définir les niveaux $s$.
La nouvelle formulation est donc finalement exactement équivalente à
l'ancienne pour le cas particulier ou on chosit $B=\sigma$ et $A=0$ pour
définir les niveaux de pression.

